题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

x2+2

x

（1）它是奇函数还是偶函数？并给出证明．
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在（3，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明．

答案

（1）此函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）=

(-x)2+2

-x

=-

x2+2

x

=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数 
（2）∵函数f（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数 
∴其图象关于原点对称．
（3）函数f（x）=

x2+2

x

=x+

2

x

在（3，+∞）上是增函数  
 证明：设∀x₁、x₂∈（3，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

2

x1

-x2-

2

x2

=(x1-x2)+

2(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

2

x1x2

)
∵3＜x₁＜x₂
∴x1-x2＜0，x1x2＞9，1-

2

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f(x)=x+

2

x

在（3，+∞）上是增函数
即函数函数f（x）=

x2+2

x

在（3，+∞）上是增函数