已知定义在R上的函数f（x）=2x-12丨x丨．（1）若f（x）=32，求x的值；（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在R上的函数f（x）=2^x-

2丨x丨

．
（1）若f（x）=

，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解　（1）当x＜0时，f（x）=0，不符合题意；
当x≥0时，f（x）=2^x-

，
由2^x-

，得2•2^2x-3•2^x-2=0，
将其看成关于2^x的一元二次方程，解之得2^x=2或-

，
结合2^x＞0，得2^x=2，解之得x=1；
（2）当t∈[1，2]时，2^tf（2t）+mf（t）≥0，
即m（2^2t-1）≥-（2^4t-1），
∵2^2t-1＞0，
∴不等式等价于m≥-（2^2t+1），
∵t∈[1，2]，函数F（t）=-（2^2t+1）是单调减函数
∴-（2^2t+1）的最小值为F（2）=-17，最大值为F（1）=-5
即-（2^2t+1）∈[-17，-5]，
故若原不等式恒成立，则m的取值范围是[-5，+∞）．

核心考点

试题【已知定义在R上的函数f（x）=2x-12丨x丨．（1）若f（x）=32，求x的值；（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，给出下列命题：
①f（3）=0；
②f（-3）=0；
③直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
④函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数．
其中所有正确命题的序号为______．（把所有正确命题的序号都填上）

题型：填空题难度：一般| 查看答案

若对任意的实数m，n，都有f（m）+f（n）=f（m+n），且f（1005）=2，则f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2009）=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

函数f(x)=

x+1

x-1

的单调减区间是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

下列说法中正确的命题代号为 ______．
①f（x）为奇函数，则f（0）=0；
②定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞）上也是单调增函数，则函数f（x）在R上是单调增函数；
③a，b，c都是不等于1的正数且ab≠1，则alogcb=blogca；
④定义在R上的函数f（x）若f（2）≠f（-2），则函数f（x）不是偶函数．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知函数f1(x)=

4x2+16

，f2(x)=(

)|x-m|，其中m∈R．
（1）若0＜m≤2，试判断函数f （x）=f₁（x）+f₂（x）（x∈[2，+∞））的单调性，并证明你的结论；
（2）设函数g(x)=

f1(x) x≥2

f2(x) x＜2.

若对任意大于等于2的实数x₁，总存在唯一的小于2的实数x₂，使得g（x₁）=g（x₂）成立，试确定实数m的取值范围．

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