题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

（x为实常数）．
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围．

答案

（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-

3

2

-

1

x

∴φ′（x）=

1

x

+

1

x2

∵x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0
∴函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增
∴x=4时，φ（x）_min=2ln2-

7

4

；
（2）方程e^2f（x）=g（x）可化为x²=

3

2

-

a

x

，∴a=

3

2

x-x³，
设y=

3

2

x-x³，则y′=

3

2

-3x²，
∵x∈[

1

2

，1]
∴函数在[

1

2

，

2

2

]上单调递增，在[

2

2

，1]上单调递减
∵x=

1

2

时，y=

5

8

；x=

2

2

时，y=

2

2

；x=1时，y=

1

2

，
∴y∈[

1

2

，

2

2

]
∴a∈[

1

2

，

2

2

]