证明函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）在(-∞，-b2a)上是增函数． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

证明函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）在(-∞，-

)上是增函数．

答案

任取x1，x2∈(-∞，-

)，且x1＜x2，f(x1)=ax12+bx1+c，f(x2)=ax22+bx2+c
f（x₁）-f（x₂）=a（x₁²-x₂²）+b（x₁-x₂）=a（x₁-x₂）（x₁+x₂）+b（x₁-x₂）=（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]
由x₁＜x₂，x₁-x₂＜0，而x1＜-

，x2＜-

，所以x1+x2＜-

，
又a＜0，所以a(x1+x2)＞(-

)•a=-b，从而a（x₁+x₂）+b＞0
由此可知f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）在(-∞，-

)上是增函数．

核心考点

试题【证明函数f（x）=ax2+bx+c（a＜0）在(-∞，-b2a)上是增函数．】；主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

下列结论中，正确的有______（写出所有正确结论的序号）
①若定义在R上的函数f（x）满足f（2010）＞f（2009），则函数f（x）在R上不是单调减函数；
②若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数，在区间（0，+∞）上也是单调减函数，则函数函数f（x）在R上是单调减函数；
③若定义在R上的函数f（x）满足f（-2010）=-f（2010），则函数f（x）是奇函数；
④若定义在R上的函数f（x）满足f（-2010）≠f（2010），则函数f（x）不是偶函数．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

（1）设一次函数f（x）满足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；
（2）若函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[a，b]（a＜b），则称函数f（x）是[a，b]上的“方正”函数．
①设g(x)=

x2-x+

是[a，b]上的“方正”函数，求常数a，b的值．
②问是否存在常数a，b（a＞-2），使函数h(x)=

x+2

是区间[a，b]上的“方正”函数？若存在，求出a，b的值；不存在，说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

ax+

( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(

)+f(

)+…+f(

)的值；
（2）是否存在自然数a，使

f(n)

f (1-n)

＞n2对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较

n (n+1 )•lg3和lg（n！）（n∈N）的大小．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

在实数范围内解不等式：5^x≥4^x+1．并利用解此题的方法证明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

请写出符合下列条件的一个函数表达式 ______．
①函数在（-∞，-1）上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值3．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

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