题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)若定义在区间D上的函数对于区间上的任意两个值总有以下不等式成立,则称函数为区间上的 “凹函数”.试证当时,为“凹函数”.
答案
解析
试题分析:解(1)由,得
函数为上单调函数. 若函数为上单调增函数,则在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.
令,上述问题等价于,而为在上的减函数,则,于是为所求.
(2)证明:由得
而 ①
又, ∴ ②
∵ ∴,
∵ ∴ ③
由①、②、③得
即,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数
点评:结合均值不等式的思想,以及函数的解析式来求解,属于中档题。
核心考点
试题【已知函数(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)若定义在区间D上的函数对于区间上的任意两个值总有以下不等式成立,则称函数为区间上的 “凹函数”.试证当时,为“】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数().
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)函数的图像在处的切线的斜率为若函数,在区间(1,3)上不是单调函数,求 的取值范围。
(1)当时,求的单调区间;
(2)(i)设是的导函数,证明:当时,在上恰有一个使得;
(ii)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立。
注:为自然对数的底数。
(I)证明:;
(II)若存在实数c,使函数在区间上单调递减,求的取值范围。
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