题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数．
（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
（2）设，证明：．

答案

 （1）；（2）详见解析.

解析

试题分析：（1）这是一个含参不等式恒成立，求参数取值范围的问题，通常方法是根据函数性质进行求解，或分离参数转化为求函数最值问题，若方便分离参数又较容易求分离后函数的最值，还是分离参数较好，这样可避免对参数的讨论；（2）这是一个以函数的凹凸那条性为背景的一个不等式的证明问题双变元问题，可以将其中一个看成主元，另一个看成参数，构造函数，通过求导判断函数的单调性和最值达到证明的目的.
试题解析：（1）（1）由变形为．
令，则
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以的最大值只能在或处取得
又，，所以
所以，从而．
（2）∵，∴
设，则

当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数．
从而当时，，
因为，所以．