题目

题型：解答题难度：一般来源：模拟题

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f"（x）的图象经过点，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m²﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解：∵f"（x）=3ax²+2bx+c，且y=f"（x）的图象经过点（﹣2，0），，∴
∴f（x）=ax³+2ax²﹣4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）³+2a（﹣2）²﹣4a（﹣2）=﹣8，
解得a=﹣1
∴f（x）=﹣x³﹣2x²+4x
（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m²﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m²﹣14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，2）上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减
且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8
∴f（x）min=f（3）=﹣33
﹣33≥m²﹣14m，3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．