题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）满足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+

1

2

x2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

答案

（I）f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）=1．
∴f(x)=f′(1)ex-1-x+

1

2

x2．
令x=0，得f′（1）=e，
∴f(x)=ex-x+

1

2

x2．
（II）设g（x）=f′（x）=e^x-1+x，
则g′（x）=e^x+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增．
而f′（0）=0，∴当x＞0时，f′（x）＞0；当x＜0时，f′（x）＜0．
因此f（x）在区间（-∞，0）上单调递减；在区间（0，+∞）单调递增．