题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=x³+ax，g（x）=2x²+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m•g（x）在区间[

1

2

，3]上是单调减函数，求实数m的取值范围．

答案

（I）f"（x）=3x²+a，g"（x）=4x

f(1)=g(1) f′(1)=g′(1)

，

1+a=2+b 3+a=4

∴

a=1 b=0

∴f（x）=x³+x，g（x）=2x²

（Ⅱ）∵F（x）=f（x）-mg（x）=x³+x-2mx²
∴F"（x）=3x²-4mx+1若x∈[

1

2

，3]时，F（x）是减函数，
则3x²-4mx+1≤0恒成立，
得

F′( 1 2 )≤0 F′(3)≤0

∴m≥

7

3

．
实数m的取值范围m≥

7

3

．