三次函数f（x），当x=1时有极大值4；当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则f（x）=______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：填空题难度：简单来源：不详

三次函数f（x），当x=1时有极大值4；当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则f（x）=______．

答案

设三次函数为f（x）=ax³+bx²+cx+d，
f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
∵x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0
∴f′（1）=3a+2b+c=0     ①
f′（3）=27a+6b+c=0     ②
f（1）=a+b+c+d=4      ③
又函数图象过原点，所以d=0   ④
①②③④联立得 a=1，b=-6，c=9
故函数f（x）=x³-6x²+9x
故答案为：x³-6x²+9x．

核心考点

试题【三次函数f（x），当x=1时有极大值4；当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则f（x）=______．】；主要考察你对求函数解析式等知识点的理解。[详细]

举一反三

求下列函数的解析式：
（1）已知f（

+1）=x+2

，求f（x+1）；
（2）设f（x）满足f（x）-2f（

）=x，求f（x）．

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对于函数f(x)=

x-1

x+1

，设f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N*）．
（1）写出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x）的表达式；
（2）根据（I）的结论，请你猜想并写出f_4n-1（x）的表达式；
（3）若x∈C，求方程f₂₀₁₀（x）=x的解集．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

下列函数中，满足f（x²）=[f（x）]²的是（　　）

A．f（x）=lnx

B．f（x）=|x+1|

C．f（x）=x³

D．f（x）=e^x

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，取得极大值7，当x=3时，取得极小值，求这个极小值及f（x）的解析式．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

如果f（cosx）=sin3x，那么f（sinx）等于（　　）

A．sin3x

B．-sin3x

C．cos3x

D．-cos3x

题型：单选题难度：一般| 查看答案

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