题目
题型:解答题难度:一般来源:普陀区一模
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(1)函数f(x)=2x与g(x)=sinx在M上互为“H函数”,求集合M;
(2)若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)与g(x)=x+1在集合M上互为“x函数”,求证:a>1;
(3)函数m与m在集合M={x|x>-1且x≠2k-3,k∈N*}上互为“m函数”,当m时,m,且m在m上是偶函数,求函数m在集合M上的解析式.
答案
化简得,2sinx(1-cosx)=0,sinx=0或cosx=1,…(2分)
解得x=kπ或x=2kπ,k∈Z,
即集合M={x|x=kπ}k∈Z.…(2分)
(若学生写出的答案是集合M={x|x=kπ,k∈Z}的非空子集,扣(1分),以示区别.)
(2)证明:由题意得,ax+1=ax+1(a>0且a≠1)…(2分)
变形得,ax(a-1)=1,由于a>0且a≠1,ax=
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a-1 |
因为ax>0,所以
1 |
a-1 |
(3)当-1<x<0,则0<-x<1,由于函数g(x)在(-1,1)上是偶函数
则g(x)=g(-x)=log2(1-x)
所以当-1<x<1时,g(x)=log2(1+|x|)…(2分)
由于f(x)=x+2与函数g(x)在集合M上“互为H函数”
所以当x∈M,f(g(x)=g(f(x))恒成立,
g(x)+2=g(x+2)对于任意的x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)恒成立,
即g(x+2)-g(x)=2…(2分)
所以g[x+2(n-1)+2]-g[x+2(n-1)]=2,
即g(x+2n)-g[x+2(n-1)]=2
所以g(x+2n)=g(x)+2n,
当x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)时,x-2n∈(-1,1)g(x-2n)=log2(1+|x-2n|)…(2分)
所以当x∈M时,g(x)=g[(x-2n)+2n]=g(x-2n)+2n=log2(1+|x-2n|)+2n.…(2分)
核心考点
试题【设函数f(x)和x都是定义在集合2上的函数,对于任意的2x,都有x成立,称函数x与y在l上互为“l函数”.(1)函数f(x)=2x与g(x)=sinx在M上互为】;主要考察你对求函数解析式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)已知函数f(x)的解析式及单调区间;
(2)若对任意的x∈[
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e |
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e |
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x |
(1)若a=-4,求函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)记函数g(x)=x2f′(x),若g(x)的最小值是-
5 |
2 |
(1)当a=1时,求y=g(x)-f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求a的取值范围;
(3)设h(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求h(x)的最大值F(a)的解析式.
x |
2 |
x |
A.
| B.
| C.
| D.-
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