已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R),g(x)=lnx. (1)当a=1时,求y=g(x)-f(x)在x=1处的切线方程; (2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方,求a的取值范围; (3)设h(x)=|f(x)|,x∈[-1,1],求h(x)的最大值F(a)的解析式. |
(1)当a=1时,y=g(x)-f(x)=lnx-x3+3x, 当x=1时,y=ln1-13+3×1=2. y′=-3x2+3,y′|x=1=1. 所以切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0; (2)∵在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方, ∴x3-3ax≥lnx在[1,2]上恒成立,得3a≤x2-在[1,2]上恒成立. 设g(x)=x2-,则g′(x)=2x-=, ∵2x3-1≥0,lnx≥0,∴g′(x)≥0,∴g(x)min=g(1)=1, ∴a≤; (3)因h(x)=|f(x)|=|x3-3ax|在[-1,1]上是偶函数,故只要求在[0,1]上的最大值. ①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)=0, ∴h(x)=f(x),F(a)=f(1)=1-3a. ②当a>0时,f′(x)=3x2-3a=3(x+)(x-), (ⅰ)当≥1,即a≥1时,h(x)=|f(x)|=-f(x), -f(x)在[0,1]上单调递增,此时F(a)=-f(1)=3a-1 (ⅱ)当0<<1,即0<a<1时,f(x)在[0,]上单调递减,在[,1]单调递增; 1°当f(1)=1-3a≤0,即≤a<1时, h(x)=|f(x)|=-f(x),-f(x)在[0,]上单调递增,在[,1]单调递减,F(a)=-f()=2a; 2°当f(1)=1-3a>0,即0<a<时, (ⅰ)当-f()≤f(1)=1-3a,即0<a≤时,F(a)=f(1)=1-3a. (ⅱ)当-f()>f(1)=1-3a,即<a<时,F(a)=-f()=2a. 综上 F(x)= | 1-3a,(a≤) | 2a,(<a<1) | 3a-1,(a≥1) |
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核心考点
试题【已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R),g(x)=lnx.(1)当a=1时,求y=g(x)-f(x)在x=1处的切线方程;(2)若在区间[1,2]上f(x)的】;主要考察你对
求函数解析式等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知f(+1)=x-1,则f(x)=______(x∈______). |
已知f(+1)=x+3,则f(x)的解析式可取( ) |
已知数列{an}中,a1=1,an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+,n≥2),且=kn+1, (Ⅰ)求证:k=1; (Ⅱ)设g(x)=,f(x)是数列{g(x)}的前n项和,求f(x)的解析式; (Ⅲ)求证:不等式f(2)<g(3)对n∈N+恒成立. |
已知y=f(x)为一次函数,且满足f(f(x))=16x+5则y=f(x)的解析式为______. |
若幂函数f(x)的图象过点(3,),则f(x)的解析式( )A.f(x)=x-1 | B.f(x)=3x-2 | C.f(x)= | D.f(x)= |
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