当前位置:高中试题 > 数学试题 > 求函数解析式 > 已知数列{an}中,a1=1,an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+,n≥2),且an+1an=kn+1,(Ⅰ)求证:k=1;(Ⅱ)设g(x)=anx...
题目
题型:解答题难度:一般来源:韶关三模
已知数列{an}中,a1=1,an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+,n≥2),且
an+1
an
=kn+1

(Ⅰ)求证:k=1;
(Ⅱ)设g(x)=
anxn-1
(n-1)!
,f(x)是数列{g(x)}的前n项和,求f(x)的解析式;
(Ⅲ)求证:不等式f(2)<
3
n
g(3)
对n∈N+恒成立.
答案
(I)证明:∵
an+1
an
=kn+1

a2
a1
=a2=k+1

又∵a1=1,an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+,n≥2)
则a3a1=a2a1+a22,即
a3
a2
=a2+1
,又
a3
a2
=2k+1
,∴a2=2k.
∴k+1=2k,解得k=1.
(2)∵
an+1
an
=n+1
,∴an=
an
an-1
an-1
an-2
a2
a1
a1
=n•(n-1)…2•1=n!
g(x)=
anxn-1
(n-1)!
=nxn-1
∴当x=1时,f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

当x≠1时,f(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1
得xf(x)=x+2x2+3x3+…+(n-1)xn-1+nxn
两式相减得(1-x)f(x)=1+x+x2+…+xn-1-nxn=
1-xn
1-x
-nxn

∴f(x)=
1-xn
(1-x)2
-
nxn
1-x

综上所述:f(x)=





n(n+1)
2
,x=1
1-xn
(1-x)2
-
nxn
1-x
,x≠1

(3)利用(2)中f(x)的表达式,取x=2,
f(2)=
1-2n
(1-2)2
-
n•2n
1-2
=(n-1)•2n+1,
3
n
g(3)=3n
,下面利用数学归纳法证明:不等式f(2)<
3
n
g(3)
对n∈N+恒成立.
易验证当n=1,2,3时不等式恒成立; 
假设n=k(k≥3),不等式成立,即3k>(k-1)2k+1
两边乘以3得:3k+1>3(k-1)2k+3=k•2k+1+1+3(k-1)2k-k2k+1+2
又因为3(k-1)2k-k•2k+1+2=2k(3k-3-2k)+2=(k-3)2k+2>0
所以3k+1>k•2k+1+1+3(k-1)2k-k2k+1+2>k•2k+1+1
即n=k+1时不等式成立.
故不等式恒成立.
核心考点
试题【已知数列{an}中,a1=1,an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+,n≥2),且an+1an=kn+1,(Ⅰ)求证:k=1;(Ⅱ)设g(x)=anx】;主要考察你对求函数解析式等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知y=f(x)为一次函数,且满足f(f(x))=16x+5则y=f(x)的解析式为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若幂函数f(x)的图象过点(3,
1
3
)
,则f(x)的解析式(  )
A.f(x)=x-1B.f(x)=3x-2C.f(x)=
x
9
D.f(x)=
x2
27
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知y=f(x)在R上奇函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x(1+
3x

)
,试求f(x)解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知二次函数f(x)图象过点(0,3)和(1,0),它的图象的对称轴为x=2,求f(x)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)=f
1
x
lgx+1,则f(10)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.