题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f₁（x）=|3^x-1|，f₂（x）=|a•3^x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=

f1(x)     f1(x)≤f2(x)    f2(x)     f1(x)＞f2(x)

．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）当a=1时，f₂（x）=|3^x-9|．
因为当x∈（0，log₃5）时，f₁（x）=3^x-1，f₂（x）=9-3^x，
且f₁（x）-f₂（x）=2•3^x-10＜2•3^log₃5-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log₃5）时，f（x）=3^x-1，且1∈（0，log₃5）（3分）
由于f"（x）=3^xln3，所以k=f"（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）

（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以0＜log3

9

a

≤log3

9

2

，则
①当x≥log3

9

a

时，因为a•3^x-9≥0，3^x-1＞0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（a•3^x-9）-（3^x-1）=（a-1）3^x-8≤0，解得x≤log3

8

a-1

，
从而当log3

9

a

≤x≤log3

8

a-1

时，f（x）=f₂（x）（6分）
②当0≤x＜log3

9

a

时，因为a•3^x-9＜0，3^x-1≥0，
所以由f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（3^x-1）=10-（a+1）3^x≤0，解得x≥log3

10

a+1

，
从而当log3

10

a+1

≤x＜log3

9

a

时，f（x）=f₂（x）（7分）
③当x＜0时，因为f₂（x）-f₁（x）=（9-a•3^x）-（1-3^x）=8-（a-1）3^x＞0，
从而f（x）=f₂（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当x∈[log3

10

a+1

，log3

8

a-1

]时，f（x）=f₂（x），
故l=log3

8

a-1

-log3

10

a+1

=log3[

4

5

(1+

2

a-1

)]（9分）
从而当a=2时，l取得最大值为log3

12

5

（10分）

（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f₂（x）”
等价于“f₂（x）≤f₁（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3^x-9|≤|3^x-1|=3^x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，log3

9

a

≤2，则当x≥2时，a•3x-9≥a•3log3

9

a

-9=0，
则（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，而当x≥2时，1+

8

3x

＞1，
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，log3

9

a

＞2．
（1）当x＞log3

9

a

时，（*）可化为a•3^x-9≤3^x-1，即a≤1+

8

3x

，而1+

8

3x

＞1，
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当x=log3

9

a

时，（*）可化为0≤3x-1=

9

a

-1，
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当2≤x＜log3

9

a

时，（*）可化为9-a•3^x≤3^x-1，即a≥

10

3x

-1，而

10

3x

-1≤

1

9

，
所以a≥

1

9

，此时要求

1

9

≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得

1

9

≤a＜1符合题意要求．
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是

1

9

≤a≤1（16分）