题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)求f(
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n |
n-1 |
n |
(2)若数列{an}满足an=f(0)+f(
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n |
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n |
n-1 |
n |
(3)若数列{bn}满足bn=2n+1•an,Sn是数列{bn}前n项的和,是否存在正实数k,使不等式knSn>4bn对于一切的n∈N*恒成立?若存在指出k的取值范围,并证明;若不存在说明理由.
答案
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令x=
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(2)∵an=f(0)+f(
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n-1 |
n |
∴an=f(1)+f(
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n-2 |
n |
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由(Ⅰ),知f(
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n-1 |
n |
∴①+②,得2an=(n+1).∴an=
n+1 |
2 |
(3)∵bn=2n+1•an,∴bn=(n+1)•2n
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n,①
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+(n+1)•2n+1,②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1
即Sn=n•2n+1
要使得不等式knSn>4bn恒成立,
即kn2-2n-2>0对于一切的n∈N*恒成立,n=1时,k-2-2>0成立,即k>4
设g(n)=kn2-2n-2
当k>4时,由于对称轴直线n=
1 |
k |
且g(1)=k-2-2>0,而函数f(x)在[1,+∞)是增函数,
∴不等式knSn>bn恒成立
即当实数k大于4时,不等式knSn>bn对于一切的n∈N*恒成立.
核心考点
试题【已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)+f(1-x)=1.(1)求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值;(2)若数列{an}满足an=f(】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)试求f(0)的值;
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论;
(3)若不等式f[(t-2)(|x-4|-|x+4|)]>f(t2-4t+13)对t∈[4,6]恒成立,求实数x的取值范围.
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求:g(
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4 |
1 |
3 |
5 |
6 |
3 |
4 |
(1)判断并证明f(x)的单调性和奇偶性
(2)是否存在这样的实数m,当θ∈[0,
π |
2 |
4 |
sinθ+cosθ |
对所有θ恒成立,如存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
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