题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

21．设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)，其中m是实数，设M={m|m＞1}
（1）求证：当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；反之，如果f（x）对所有实数x都有意义，则m∈M；
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；
（3）求证：对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

答案

（1）函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)，
令t=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

若m＞1，则

1

m-1

＞0，∴t＞0．
若t＞0，则△=（4m）²-4（4m²+m+

1

m-1

）=-

4(m2-m+1)

m-1

＜0，
∵m²-m+1=（m-

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴m＞1，即m∈M．
（2）当m∈M时，t=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

=（x-2m）²+m+

1

m-1

≥m+

1

m-1

，（x=2m时取等号）．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
∴x=2m时f（x）有最小值log₃（m+

1

m-1

）．
（3）∵m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1，
又m＞1，∴m-1+

1

m-1

+1≥3，当且仅当m-1=

1

m-1

，即m=2时取等号．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
所以log₃（m+

1

m-1

）≥1，
∴对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．