题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知集合A={（x，y）|x²+mx-y+2=0}和B={（x，y）|x-y+1=0，0≤x≤2}，A∩B≠∅，求实数m的
取值范围．

答案

由

x2+mx-y+2=0 x-y+1=0

得x²+（m-1）x+1=0，①
∵A∩B≠∅，
∴方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解，
首先，由△=（m-1）²-4≥0，
解得：m≥3或m≤-1．
设方程①的两个根为x₁、x₂，
（1）当m≥3时，由x₁+x₂=-（m-1）＜0
及x₁•x₂=1＞0知x₁、x₂都是负数，不合题意；
（2）当m≤-1时，由x₁+x₂=-（m-1）＞0
及x₁•x₂=1＞0知x₁、x₂是互为倒数的两个正数，
故x₁、x₂必有一个在区间[0，1]内，
从而知方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解．
综上所述，实数m的取值范围为（-∞，-1]．