题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)判断函数f(x)=
x |
3 |
cosx |
4 |
(2)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n]30D,都存在-15P[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f"(x0)成立”,试用这一性质证明:方程f(x)-x=0只有一个实数根;
(3)设
1 |
5 |
答案
1 |
3 |
sinx |
4 |
1 |
12 |
7 |
12 |
又因为当x=0时,f(0)-0=1>0,f(π)-π=-1-π<0,
所以方程f(x)-x=0有实数根.
所以函数f(x)=
x |
3 |
cosx |
4 |
(II)假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β),
则f(α)-α=0,f(β)-β=0不妨设α<β,根据题意存在数c⊆(α,β)
使得等式f(β)-f(α)=(β-α)f"(c)成立.
因为f(α)=α,f(β)=β,且α≠β,
所以f"(c)=1,
与已知0<f"(x)<1矛盾,
所以方程f(x)-x=0只有一个实数根;(8分)
(III)不妨设x2<x3,因为f"(x)>0,
所以f(x)为增函数,
所以f(x2)<f(x3),
又因为f"(x)-1<0,
所以函数f(x)-x为减函数,
所以f(x2)-x2>f(x3)-x3,
所以0<f(x3)-f(x2)<x3-x2,
即|f(x3)-f(x2)|<|x3-x2|,
所以|f(x3)-f(x2)|<|x3-x2|=|x3-x1-(x2-x1)|≤|x3-x1|+|x2-x1|<2(14分)
核心考点
试题【设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f"(x)满足0<f"(x)<1.”(1)判断函数f(x)=】;主要考察你对集合的概念与表示等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.6个 | B.7个 | C.8个 | D.15个 |
1+a |
1-a |
A.1 | B.-1 |
C.±1 | D.与a的取值有关 |
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