题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

定义函数f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1，5]=1，[-1，3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则
（1）a₂=______；
（2）式子

an+90

n

的最小值为______．

答案

（1）由题意可得[x]=

0 ， x∈[0 ，1) 1 ，x∈[1 ，2) … n-1 ， x∈[n-1 ，n)

，
∴f（x）=[x•[x]]=

0 ， x∈[0 ，1) x ， x∈[1 ，2) … (n-1)x ， x∈[n-1 ，n)

，
∴[x•[x]]]]在各区间中的元素个数是：0，1，2，3，…，n-1，
∴a_n=

n(n-1)

2

，∴a₂=1，
故答案为 1．
（2）式子

an+90

n

=

n

2

+

90

n

-

1

2

≥2

45

-2≈13.4128，当且仅当n=

180

时，等号成立．
由于n为正整数，故当n=13，或 n=14时，式子

an+90

n

 取得最小值．
当n=13时，式子

an+90

n

=

168

13

=

2352

182

，当n=14时，式子

an+90

n

=

181

14

=

2353

182

，
故式子

an+90

n

的最小值为

168

13

．
故答案为

168

13

．