题目

题型：专项题难度：来源：

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90 °，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB·AF=CB·CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm（x＞0）．当x= _________ 时，△PBC的周长最小．

答案

解：
（1）证明：∵∠DAB=90°
∴∠DAF+∠BAC=90°
∵DF⊥AC
∴∠DAF+∠ADF=90°
∴∠BAC=∠ADF又∠DFA=∠ACB
∴△DFA∽△ACB
∴
∴AF·AB=BC·AD
∵AD=CD
∴AB·AF=CB·CD
（2）解：C_△PBC=PB+PC+BC
∵AD=CD，DE⊥AC
∴DE是AC的垂直平分线
∴PC=PA根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小．
∵∠ACB=90 °
∴
∴
∵AF·AB=CB·AD即6x15=9·AD
∴AD=10
∵FE是△ABC中位线
∴
∴
∴x=12.5时，△PBC周长最小．