题目

题型：浙江省竞赛题难度：来源：

在密码学中，称直接可以看懂的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．规定26个英文字母按顺序分别对应整数0到25．现有一个由4个字母构成的密码单词，若记4个字母对应的数字分别为x₁，x₂，x₃，x₄，且已知整数x₁+2x₂，3x₂，x₃+2x₄，3x₄除以26的余数分别为9，16，23，12，试求这个密码单词．

答案

解：显然x₁，x₂，x₃，x₄都在0～25间：
∵3x₂除以26余16，
∴3x₂=16或42或68，
又∵3x₂是3的倍数，
∴3x²=42 即x₂=14，
∴x₁+2x₂=x₁+28除以26余数为9，
∴x₁+28=26+9，
∴x₁=7，
∵3x₄除以26余数为12×3x₄=12或38或64，
∴x₄=4，
又∵x₃+2x₄=x₃+8除以26余23，
∴x₃+8=23或49，
∴x₃=15，
所以x₁=7，x₂=14，x₃=15，x₄=4，
它们分别对应的英语字母是7﹣h，14﹣o，15﹣p，4﹣e，
∴这个密码单词为hope，意思是“希望”．