题目

题型：竞赛题难度：来源：

本书标有2011页，从第一页开始每11页就在最后一页的页面加注一个红圈，直到末页．然后从末页开始向前，每21页也在最前一页加注一个红圈，直到第一页．问一共有多少页加注了两个红圈？并写出它们的页面号码．

答案

解：第一次从前往后加注红圈时，设加注红圈的页码为m，
则m=1+11k，k=1，2，3…，m≤2011．
∴1+11k≤2011，∴1≤k≤182．
第二次从后往前加注红圈时，由2011÷21=95…16，可知这时加红圈的页面号码m就是从第16页开始向后每隔20页加注红圈的页面号码，除了第16页和最末一页（第2011页）是例外，于是第二次加注红圈的页面号码是m=16+21k′，k′=0，1，2，…，94．结合（1）（2），于是得到m=1+11k=16+21k′，
∴k=1+2k′+，
∴m=16+21×4=100是两个红圈重合的页面号码之最小者，
注意到11与21的最小公倍数[11，21]=231，
因此，两个红圈重合的页面号码是m=100+231n．
由m≤2011，得100+231n≤2011，0≤n≤8，
即n=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
故一共有9页加注了两个红圈，分别是第100页，第331页，第562页，第793页，第1024页，第1255页，第1486页，第1717页，第1948页．