题目

题型：不详难度：来源：

操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点（不包括射线的端点）.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.
研究：

（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明；
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由；
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.

答案

（1）PD=PE；（2）1，，；（3）ME="3MD"

解析

试题分析：（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE；
（2）分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．
（1）连接PC，

因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；
（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；
②当BP=BE时，E在线段BC上，CE=；E在CB的延长线上，CE=；
③当EP=EB时，CE=1；
（3）过点M作MF⊥AC，MH⊥BC
 
∵∠C=90°，
∴四边形CFMH是矩形即∠FMH=90°，MF=CH．

∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH，
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．