题目

题型：浙江省竞赛题难度：来源：

如图，已知以AB为直径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A、C 两点的坐标分别为A（﹣1，0）、C（0，3），直线DE交x轴交于点E（﹣，0）．
（1）求该圆的圆心坐标和直线DE的解析式；
（2）判断直线DE与圆的位置关系，并说明理由．

答案

解：（1）如图，设圆心为F，圆的半径为r，连接CF，DF，
∵A（﹣1，0）、C（0，3），
∴OC=3，OF=r﹣1，根据勾股定理得：
CF²=OC²+OF²，
即r²=3²+（r﹣1）²，
解得：r=5，r﹣1=4，
∴圆心坐标为（4，0）；
根据圆的对称性，点D的坐标为（0，﹣3），
设直线DE的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣3；
（2）直线DE与圆相切．理由如下：
如图，连接DF，
则OE=，OF=4，OD=3，
==，=，
∴=，
又∵∠DOF=∠DOE，
∴△DOE∽△FOD，
∴∠ODE=∠OFD，
∵∠OFD+∠ODF=90°，
∴∠ODE+∠ODF=90°，
即∠EDF=90°，
∴FD⊥ED，
又∵点D在圆上，
∴直线DE与圆相切．