题目

题型：广东省竞赛题难度：来源：

已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是⊙O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）试问：CG∥AD吗？说明理由；
（2）证明：点E为OB的中点．

答案

解：（1）CG∥AD，
理由如下：
∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，
∴CG⊥CF；
又∵CF⊥AD，
∴CG∥AD（同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行）；
（2）证法一：
证明：如图（1），连接AC，
∵CF⊥AD，AE⊥CD，且CF、AE过圆心O，，
∴AC=AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠FCD=30°；                  
在Rt△COE中，OE=OC，
∴OE=OB，
∴点E为OB的中点；
证法二：证明：如图（2），连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°；
又∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，
∴CF∥BD，
∴△BDE∽△OCE，
∴，
∵AE⊥CD，且AE过圆心O，
∴ED=CE，
∴=1，即BE=OE，
∴点E为OB的中点．