（1）证明：连接OD，∵D是BC的中点，
∴∠BOD=∠A。
∴OD∥AC。
∵EF⊥AC，
∴∠E=90°。
∴∠ODF=90°。
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F= ，AE=4，
∴
设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．
在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=，
∴OF=3OD=3R。
∵OF+OA=AF，
∴3R+R=12，
∴R=3。
连接BC，则∠ACB=90°。
∵∠E=90°，
∴BC∥EF。
∴AC：AE=AB：AF。
∴AC：4=2R：4R，
∴AC=2
∴⊙O的半径为3，AC的长为2。