题目

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN。
求证：（1）M为BD的中点；
（2）。

答案

解：根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA，
又因为∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，
所以，∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM，
有△BAM∽△CBM，则，即BM²=AM·CM①，
又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，
∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
有△DAM∽△CDN，则，即DM²=AM·CM②，
由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点；
（2）如图，延长AM交圆于点P，联结CP，则∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC，
知PC∥BD，故③，
又∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
所以，∠ABC=∠MCP，
而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM④，
由式③、④得。