题目

题型：江西省中考真题难度：来源：

如图（1），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F，AB=4，BC=6，∠B=60°。
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。
①当点N在线段AD上时（如图（2）），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图（3）），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图（1），过点E作EG⊥BC于点G
∵E为AB的中点，
∴，
在Rt△EBG中，∠B=60°，
∴∠BEG=30°，
∴，，即点E到BC的距离为；（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变，
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，
∵EF∥BC，
∴EP=GM，PM=EG=，
同理，MN=AB=4，如图（2），
过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，则∠PMH=30°，
∴，
则，
∴MH=PM·cos30°=，
在Rt△PNH中，，
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=；
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形，当PM=PN时，如图（3）
作PR⊥MN于R，则MR=NR，
类似①，，
∴MN=2MR=3，
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3，
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2，
当MP=MN时，如图（4），
这时MC=MN=MP=，
此时．x=EP=GM=6-1-=5-，
当NP=NM时，如图（5），∠NPM=∠PMN=30°，
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180°，
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形，
∴MC=PM·tan30°=1，
此时，x=EP=GM=6-1-1=4，
综上所述，当x=2或4或时，△PMN为等腰三角形。