题目

题型：陕西省中考真题难度：来源：

问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点P，并说明理由；
（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由；
问题解决
（3）如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP′D=60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P′，并求出△APB的面积。（结果保留根号）

答案

解：（1）如图①，连接AC、BD交于点P，则∠APB=90°，
∴点P为所求；（2）如图②，画法如下：
1）以AB为边在正方形内作等边三角形ABP；
2）作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD、BC交于点E、F
∵在⊙O中，弦AB所对的上的圆周角均为60°，
∴上的所有点均为所求的点P；（3）如图③，画法如下：
1）连接AC；
2）以AB为边作等边三角形ABE；
3）作等边三角形ABE的外接圆⊙O，交AC于点P；
4）在AC上截取AP′=CP，
则P、P′即为所求；
过点B作BG⊥AC，交AC于点G，
∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴，
∴，
在Rt△ABG中，AB=4，
∴，
在Rt△BPG中，∠BPA=60°，
∴，
∴，
∴。