题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB，AD交于点M，N（不与点B，A，D重合），设DN=x，四边形AMPN的面积为y，在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式。
（1）如图1，点P与点O重合；
（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；
（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB。

答案

解：（1）当x变化时，y不变．如图1，；（2）当x变化时，y不变，
如图2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD，
∴四边形AFPE是矩形，PF=PE，
∴四边形AFPE是正方形，
∵∠ADC=90°，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴，
∵AP=2PC，CD=3，
∴，
∴PE=2，
∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，
∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°，
∴∠NPE=∠MPF，
∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，
∴△PEN≌△PFM，
∴；（3）x变化，y变化,
如图3，，0<x＜3。