题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E。
（1）求证：ME=MF；
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明；
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由；
（4）根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由。

答案

解：（1）过点Ｍ作ＭＨ⊥AB于Ｈ，ＭＧ⊥AD于Ｇ，连接AＭ
∵Ｍ是正方形ABCD的对称中心，
∴Ｍ是正方形ABCD对角线的交点，
∴AＭ平分∠BAD，
∴ＭＨ=ＭＧ在正方形ABCD中，∠A=90°，
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠ＨＭＧ=90°，
在正方形ＱＭＮＰ，∠EＭF=90°
∴∠EMF=∠HMG，
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；
（2） ME=MF。
证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠M=∠B，
∴∠M+∠BAD=180°
又∠MHA=∠MGF=90°，
在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠EMF=∠HMG，
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；
（3）ME=mMF，
证明：过点Ｍ作ＭＨ⊥AB于Ｈ，ＭＧ⊥AD于Ｇ，
在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°
∴∠EＭF=∠B=90°，
又∵∠ＭＨA=∠ＭＧA=90°，
在四边形HMGA中，
∴∠ＨＭＧ=90°，
∴∠EＭF=∠ＨＭＧ，
∴∠EＭＨ=∠FＭＧ，
∵∠ＭＨE=∠ＭＧF，
∴△ＭＨE∽△ＭＧF，
∴，
又∵Ｍ是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的中点
∴ＭＧ∥BC，
∴ＭＧ=BC，
同理可得ＭＨ=AB，
∵AB=mBC
∴ＭE=ｍＭF；
（4）平行四边形ABCD和平行四边形ＱＭＮＰ中，∠Ｍ=∠B，AB=ｍBD，Ｍ是平行四边形ABCD的对称中心，ＭＮ交AB于F，AD交ＱＭ于E，则ＭE=ｍＭF。