题目

题型：湖北省期中题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系，直线与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．
（1）求BD的长．
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S_△NBD=S₁，S_△NOA=S₂，当点N运动到什么位置时，S₁S₂的值等于90，并求出此时点N的坐标．
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，简述理由．

答案

解：（1）∵令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
∴A（6，0），D（0，8）．
∴AD===10，
∵将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，
∴AC=AO=6，DC=AD﹣AC=10﹣6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，即4：8=DB：10，
∴DB=5；
（2）如图1，设N（x，y）．


解得x=3，
则y=﹣（x﹣6）=4，
∴N（3，4）；
（3）如图2，∵△MAC为直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，则M与B重合，
∵BD=5，∴M（0，3）；
若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5﹣8=4.5，
∴M（0，﹣4.5），
综上所述，M点的坐标为M₁（0，3），M₂（0，﹣4.5）．