题目

题型：不详难度：来源：

阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q，易说明△APD∽△CDQ．
猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形______（直接填在横线上）；
验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由．
连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么？
探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？

答案

（1）∵∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，


∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CDQ；

（2）成立；如图所示，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
又∠A=∠C，
∴△APD∽△CDQ，


∵△APD∽△CDQ，
∴

AP

CD

=

AD

CQ

=

PD

DQ

，
∵AD=CD，
∴

AP

AD

=

PD

DQ

，
∵∠A=∠C=∠PDQ，
∴△APD∽△DPQ；

（3）可以，将两三角板改为一个更为一般的条件：AB=BC，∠EDF=∠A，D为AC中点．