题目

题型：专项题难度：来源：

如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n。
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围；
（3）以△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD²+CE²=DE²；
（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系BD²+CE²=DE²是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

答案

解：（1）△ABE∽△DAE， △ABE∽△DCA。
 ∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA。
（2）∵△ABE∽△DCA，
∴，
由依题意可知，CA=BA=，
∴，
∴m=，
∴自变量n的取值范围为1<n<2。
（3）由BD=CE，可得BE=CD，即m=n，
∵m=，
∴m=n=，
∵OB=OC=BC=1，
∴OE=OD=-1，
∴D(1-， 0)，
∴BD=OB-OD=1-(-1)=2-=CE， DE=BC-2BD=2-2(2-)=2-2，
∵BD²+CE²=(2BD)²=4(2-)²=12-8， DE=(2-2)2= 12-8，
∴BD²+CE²=DE²。（4）成立。
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，
则CE=HB，AE=AH， ∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°，
连接HD，
在△EAD和△HAD中，
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD，
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE，
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD²+HB²=DH²，
即BD²+CE²=DE²。