题目

题型：黑龙江省中考真题难度：来源：

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，且∠MPN=90°，当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时（如图1），过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，可证Rt△PME∽Rt△PNF，得出PN=PM。（不需证明）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明。

答案

解：如图2，如图3中都有结论：PN=PM；
选如图2：在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，
∴△PFN∽△PEM，
∴，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴，
∵PC=PA，
∴，即：PN=PM。