题目

题型：不详难度：来源：

（7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D
点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

答案

连结BD，证△BED≌△CFD和△AED≌△BFD，求得EF=5

解析

分析：首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE=FC=3，那么AB=7，则BC=7，BF=4，再根据勾股定理求出EF的长．

解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF²=BE²+BF²=3²+4²，
∴EF=5．
答：EF的长为5．