题目

题型：不详难度：来源：

在等腰直角△ABC中，∠C=90°,AC=BC,D是AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD延长线于F，CH⊥AB于H,交AE于G.求证：
小题1:（1）BD=CG 
小题2:(2)DF=GE

答案

小题1:⑴∵∠ACB＝90°，AC＝BC ∴∠ABC＝45°　
又　∵CH⊥AB ∴∠ACH＝45°　∴∠ABC＝∠ACH       　　         (1分)
　　　　　∵AE⊥CD ∴∠CAE+∠ACE＝90°
又∵∠BCD+∠ACE＝90°∴∠BCD＝∠CAE 　　　　　　　　　        (2分)
　∴△ACG≌△CBD  (ASA) ∴  BD＝CG  
小题2:⑵　∵AE⊥CD, BF⊥CD ∴∠BFD＝∠CEG＝90°且∠DBF+∠BDF＝90°　　 (4分)
又∵CH⊥AB ∴∠GCE+∠CDH＝90°
∵∠BDF＝∠CDH ∴∠DBF＝∠GCE　　　　　　　　　　　　　　(5分)
而∵BD＝CG　　∴△DBF≌△GCE   (AAS)　　（6分）　∴DF＝GE

解析

本题通过证明△ACE≌△BCF得出CE=BF，再证明△CEG≌△BDF得出所求结论．
证明：根据题意∠AEC=∠CFB=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°．
∴∠CAE=∠BCF．
在△ACE与△BCF中，
∵，
∴△ACE≌△BCF．
∴BF=CE．
∵∠BDF+∠DBF=90°，∠CGE+∠GCE=90°，∠GCE+∠HDC=90°，∠BDF=∠ADC（对顶角相等），
∴∠CGE=∠BDF．
在△CEG与△BFD中，
∵，
∴△CEG≌△BFD（AAS）．
BD=CG，DF=GE．