题目

题型：不详难度：来源：

如图，Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢交斜边于点E，CC ¢的延长线交BB ¢于点F．
（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．

答案

（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴AC="AC" ¢，AB="AB" ¢，∠CAB="∠C" ¢AB ¢   
∴∠CAC ¢="∠BAB" ¢
∴∠ACC ¢="∠ABB" ¢  
又∠AEC=∠FEB
∴△ACE∽△FBE     

（2）解：当时，△ACE≌△FBE．   
在△ACC¢中，∵AC="AC" ¢，
∴  
在Rt△ABC中，
∠ACC¢+∠BCE=90°，即，
∴∠BCE=．
∵∠ABC=，
∴∠ABC=∠BCE    
∴CE=BE
由（1）知：△ACE∽△FBE，
∴△ACE≌△FBE．

解析

（1）欲证△ACE∽△FBE，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即∠AEC=∠FEB，此时，再证∠ACC′=∠ABB′即可．
（2）欲证△ACE≌△FBE，由（1）知△ACE∽△FBE，只需证明CE=BE，由已知可证∠ABC=∠BCE=α，即证β=2α时，△ACE≌△FBE．