题目

题型：不详难度：来源：

如图，在Rt△ABC中,AC=AB，∠BAC=90°，点O是BC的中点，连结OA.
（1）如图1，已知BC=6,则OA=_________.
（2）如图2，若点M,N分别在线段AB,AC上移动，在移动中始终保持AN=BM，则△OAN≌△OBM成立吗？并说明理由.
（3）如图3，若点M,N分别在线段BA.AC的延长线上移动，在移动中始终保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由.

答案

（1）
（2）△OAN≌△OBM
理由如下：∵AC=AB，∠BAC=90°
∴∠B=45°
∵点O是BC的中点
∴∠NAO=45°
∴∠B=∠NAO
∵∠BAC=90°，点O是BC的中点
∴
又∵AN=BM，
∴△OAN≌△OBM
（3）△OMN是等腰直角三角形
理由如下：∵AC=AB，AN=BM
∴NC=MA
∵∠BAO=∠ACO=45°
∴∠MAO=135°=∠NCO
又∵AO=CO
∴△OAM≌△OCN
∴MO="NO," ∠MOA=∠NOC
∵AB=AC，点O是BC的中点
∴∠AOC=90°
∴∠MOA+∠MOC=90°
∴∠NOC+∠MOC=90°
∴△OMN是等腰直角三角形

解析

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）利用SAS判定两个三角形全等；
（3）通过证明三角形全等可得MO=NO，易得∠NOC+∠MOC=90°，所以三角形OMN是等腰直角三角形。