题目

题型：不详难度：来源：

阅读下面的情境对话，然后解答问题

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．

1求证：ACE是奇异三角形；
2当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

答案

解：（1）真命题
（2）在RtABC 中a²＋b²＝ c²，
∵c＞b＞a＞0
∴2c²＞a²＋b²，2a²＜c²＋b²
∴若RtABC是奇异三角形，一定有2b²＝c²＋ a²
∴2b²＝a²＋（a²＋b²）
∴b²＝2a²得：b＝a
∵c²＝b²＋ a²＝3a²
∴c＝
∴a：b： c＝
(3)1∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°
在RtABC 中，AC²＋BC²＝AB²
在RtADB 中，AD²＋BD²＝AB²
∵点D是半圆的中点
∴＝
∴AD＝BD
∴AB²＝AD²＋BD²＝2AD²
∴AC²＋CB²＝2AD²
又∵CB＝CE，AE＝AD
∴AC²＝CE²＝2AE²
∴ACE是奇异三角形
2由1可得ACE是奇异三角形
∴AC²＝CE²＝2AE²
当ACE是直角三角形时

解析

（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；
（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a²+b²=c²与a²+c²=2b²，用a表示出b与c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；
②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE＝去分析，即可求得结果．