题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:△MDC是等边三角形;
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值?如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
答案
(2)存在,△AEF的周长的最小值为2+
解析
即AQ∥DP,
∵AD∥BC,
∴四边形ADPQ是平行四边形,
∴AD=QP=AB=CD,
∵∠C=∠B=60°,
∴∠BAQ=∠CDP=30°,
∴CP=BQ=AB=1,
即BC=1+1+2=4,
∵CD=2,
∴BC=2CD,
∵点M是BC的中点,
BC=2CM,
∴CD=CM,
∵∠C=60°,
∴△MDC是等边三角形.
(2)解:△AEF的周长存在最小值,理由如下:
过D作DN⊥BC于N,连接AM,
∵∠C=60°,
∴∠CDN=30°,
∵CD=2,
∴CN=1,
∴由勾股定理得:DN=,
连接AM,由(1)平行四边形ABMD是菱形,
△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,
∠BMA=∠BME+∠AME=60°,∠EMF=∠AMF+∠AME=60°,
∴∠BME=∠AMF,
在△BME与△AMF中,
,
∴△BME≌△AMF(ASA),
∴BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB,
∵∠EMF=∠DMC=60°,故△EMF是等边三角形,EF=MF,
∵MF的最小值为点M到AD的距离等于DN的长,即是,即EF的最小值是,
△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF,
△AEF的周长的最小值为2+,
答:存在,△AEF的周长的最小值为2+.
(1)过点D作DP⊥BC于点P,过点A作AQ⊥BC于点Q,得到CP=BQ=AB,CP+BQ=AB=1,得出BC=2CD,由点M是BC的中点,推出CM=CD,由∠C=60°,根据等边三角形的判定即可得到答案;
(2)△AEF的周长存在最小值,理由是连接AM,由ABMD是菱形,得出△MAB,△MAD和△MC′D′是等边三角形,推出∠BME=∠AMF,证出△BME≌△AMF(ASA),得出BE=AF,ME=MF,推出△EMF是等边三角形,根据MF的最小值为点M到AD的距离,即EF的最小值是,即可求出△AEF的周长.
核心考点
试题【如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.(1)求证:△MDC是等边三角形;(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(】;主要考察你对相似图形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当∠BAC=∠MBN=90°时,
①如图a,当θ=45°时,∠ANC的度数为 ;
②如图b,当θ≠45°时,①中的结论是否发生变化?说明理由;
(2)如图c,当∠BAC=∠MBN≠90°时,请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系,不必证明.
(1)求证:△BDG∽△DEG;
(2)若EG•BG=4,求BE的长.
(1)当x=4时,求四边形ABED的周长;
(2)当x为何值时,△BED是等腰三角形?
(1)求证:△CDE是正三角形.
(2)问:△CDE经怎样的变换后能与△ABC成位似图形?请在图中直接画出△CDE变换后的对应三角形△CD"E",并求出△CD"E"与△ABC的位似比.
(1)求证:BE=DC;
(2)若AD=4,BC=6,求BE的长.
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