题目
题型:不详难度:来源:
(1)如图1,若△ABC是等腰直角三角形,则DE,DC有什么数量关系?请给出证明.
(2)如果换一个直角三角形,如图2,∠CBA=30°,则DE,DC又有什么数量关系?请给出证明.
(3)由(1)、(2)这两种特殊情况,小明提出问题:如果直角三角形ABC中,BC=mAC,那DE, DC有什么数量关系?请给出证明.
答案
解析
试题分析:(1) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G,通过证明△CDF≌△EDG而得出结论;
(2) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G,应用锐角三角函数定义和.特殊角的三角函数值,通过证明△CDF∽△EDG而得出结论;
(3) 过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G,根据BC=mAC,通过证明△CDF∽△EDG而得出结论.
试题解析:(1)DE=DC,证明如下:
如图,过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G,
由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形,∴DG="FA."
∵DF∥BC,△ABC是等腰直角三角形,∴DF=AF,即DG=DF.
又∵DE⊥DC,∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF,即∠CDF=∠EDG.
∴△CDF≌△EDG. ∴DE=DC.
(2)DC=DE,证明如下:
如图,过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G,
由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形,∴DG=FA.
∵DE⊥DC,∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF,即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.
又∵△ADF∽△ABC,∴.
∵∠CBA=30°,∴.
∴.∴DC=DE.
(3) DC=DE.证明如下:
如图,过点D作DF⊥AC,DG⊥AE于点G,
由EA⊥AC可知四边形AGDF为矩形,∴DG=FA.
∵DE⊥DC,∴∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF,即∠CDF=∠EDG. ∴△CDF∽△EDG. ∴.
又∵△ADF∽△ABC,∴.
∵BC=mAC,∴.∴DC=DE.
核心考点
试题【小明对直角三角形很感兴趣. △ABC中,∠ACB=90°,D是AB上任意一点,连接DC,作DE⊥DC,EA⊥AC,DE与AE交于点E.请你跟着他一起解决下列问题】;主要考察你对相似图形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当t为何值时,四边形PABQ是平行四边形,请写出推理过程;
(2)通过推理论证:在P、Q的运动过程中,线段DE的长度不变;
探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:
(1)如图②:四边形ABCD中,点E、F是AD的3等分点,点G、H是BC的3等分点,连接EG、FH,那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢?
如图③,连接EH、BE、DH,
因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:2,
所以S△EGH=S△EBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:2,
所以S△EFH=S△DEH
所以S△EGH+S△EFH=S△EBH +S△DEH
即S四边形EFHG=S四边形EBHD
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是2:3,
所以S△DBE=S△ABD
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是2:3,
所以S△BDH=S△BCD
所以S△DBE +S△BDH=S△ABD+S△BCD =(S△ABD+S△BCD)
=S四边形ABCD
即S四边形EBHD=S四边形ABCD
所以S四边形EFHG=S四边形EBHD=×S四边形ABCD=S四边形ABCD
(1)如图④:四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,猜想:S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢
验证你的猜想:
(2)问题解决:如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,(其中n为奇数)
那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为: (不必写出求解过程)
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