题目

题型：不详难度：来源：

在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，
且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E。
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC。
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明。

答案

(1)证明见解析；（2）拓展探究见解析．

解析

试题分析：（1）如图1，连接CD，证明△AND≌△CMD，可得DN=DM；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；
（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．
②若BD=kAD，证明思路与①类似．
（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，
如图1所示，

连接CD，则CD⊥AB，
又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND与△CMD中，

∴△AND≌△CMD（ASA），
∴DN=DM．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED与△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE为等腰直角三角形，
∴AE=NE，
∴AE=DF．
（2）①答：AE=DF．
由（1）证明可知：△DEN∽△MFD
∴，即MF•EN=DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴，即MF•EN=AE•BF．
∴DE•DF=AE•BF，
∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF），
∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．
②答：DF=kAE．
由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE-AD）•DF=AE•（DF-BD）
∴AD•DF=AE•BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．