题目

题型：专项题难度：来源：

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF。
（1）证明：EF=CF；
（2）当tan∠ADE=时，EF= _________ 。

答案

解：（1）过D作DG⊥BC于G，
由已知可得四边形ABGD为正方形，
∵DE⊥DC
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC，
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC，
∴DE=DC且AE=GC，
在△EDF和△CDF中
∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；
（2）∵tan∠ADE==，
∴AE=GC=2，
设EF=x，则BF=8﹣CF=8﹣x，BE=4，
由勾股定理x²=（8﹣x）²+42，解得x=5，
∴EF=5 。