题目

题型：模拟题难度：来源：

如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限。动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标。

答案

解：（1）Q（1，0）； 点P运动速度每秒钟1个单位长度。（2）过点作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4，
   ∴AF=10-4=6，
   在Rt△AFB中，，
   过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，
   ∵，
    ∴△ABF≌△BCH， 
    ∴BH=AF=6，CH=BF=8，
    ∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，
    ∴所求C点的坐标为（14，12）。（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，
  则△APM∽△ABF，
  ∴，即，
  ∴，，
  ∴PN=OM=10-，ON=PM=，
设△OPQ的面积为S（平方单位），
，（0≤t≤10）
  ∵<0，
  ∴当时，△OPQ的面积最大，
此时P的坐标为（，）。