题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）。
（1）若m=n时，如图1，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图2，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得 EF=（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标。

答案

解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形。
在OA上取点G，使AG = BE；（2）假设存在点E，使EF=AE，设E（a，0），
作FH⊥x轴于H，
如图，由（1）知∠EAO=∠FEH，
于是Rt△AOE≌Rt△EHF，
 ∴ FH=OE，EH=OA，
∴ 点F的纵坐标为a，即FH=a，
由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°，
∴BH=FH=a，
又由C（m，n）有OB=m，
∴BE=OB-OE=m-a，
∴EH=m-a+a=m，
 又EH=OA=n，
∴m=n，这与已知m≠n相矛盾，
因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立。

（3））如（2）图，设E（a，0），FH=h，
则EH=OH-OE=h+m-a，
由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，
得 △AOE∽△EHF，
 ∴EF=（t + 1）AE等价于FH=（t + 1）OE，
即h=（t + 1）a，
且，即，
整理得nh=ah+am-a²，
∴，
把h=（t + 1）a 代入得，
即 m-a=（t + 1）（n-a），
而m=tn，因此tn-a=（t + 1）（n-a），
化简得ta=n，
解得，
∵ t＞1，
∴ <n<m，故E在OB边上，
∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）。