题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在点D处，AD交OC于点E。
（1）求OE的长；
（2）求经过O、D、C三点的抛物线的解析式；
（3）若F为经过O、D、C三点的抛物线的顶点，一动点P从A点出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分？

答案

解：（1）∵四边形OABC是矩形，并将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，
∴∠CDE=∠AOE=90°，OA=BC=CD，
又∵∠CED=∠OEA，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，
在Rt△OEA中，
∴OE²+OA²=（AD-DE）²
即OE²+4²=（8-OE）²
解之，得OE=3；
（2）EC=8-3=5，
如图，过点D作DG⊥EC于点G，
∴△DEG∽△CED，
∴
∵O点为坐标原点，故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y=ax²+bx，
∴解得
∴；
（3）∵抛物线的对称轴为x=4，其顶点坐标为（4，5/2），
∴设直线AC的解析式为y=kx+b，
则8k+b=0，b=-4
解之，得k=，b=-4，
∴y=x-4，
设直线FP交直线AC于H（m，m-4），
过点H作HM⊥OA于点M，
∴△AMH∽△AOC，
∴HM∶OC=AH∶AC，
∵S_△FAH∶S_△FHC=1∶3或3∶1，
∴AH∶HC=1∶3或3∶1，
∴HM∶OC=AH∶AC=1∶4或3∶4，
∴HM=2或6，即m=2或6，
∴H₁（2，-3），H₂（6，-1），
直线FH₁的解析式为y=x-，
当y=-4时，x=，
直线FH₂的解析式为y=-x+
当y=-4时，x=
∴当t=秒或秒时，直线FP即把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分。