题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
（1）延长MP交CN于点E（如图2）。①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；
（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

答案

解：（1）证明：如图2，
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠NM=90°，
∴BM//CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM=ME，
∴在Rt△MNE中，PN=ME，
∴PM=PN；
（2）成立，如图3，
延长MP与NC的延长线相交于点E，
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM//CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM=ME，则在Rt△MNE中，PN=ME，
∴PM=PN；
（3）四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。