题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连接EF，当∠EPF绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。

答案

解：理由如下：连接PA，
∵PA是等腰△ABC底边上的中线，
∴PA⊥PC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）），
又AB⊥AC，
∴∠1=90°-∠PAC，∠C=90°-∠PAC，
∴∠1=∠C（等量代换），
同理，由PA⊥PC，PE⊥PF可得∠2=∠3，
由PA是Rt△ABC斜边上的中线，得：PA=BC=PC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，
∴△PAE≌△PCF（ASA），
∴PE=PF（全等三角形对应边相等），因此，△PEF始终是等腰直角三角形。