题目

题型：江苏期中题难度：来源：

如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O。

（1）在图1中，你发现线段AC，BD的数量关系是______，直线AC，BD相交成______度角；
（2）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，得到图2，这时（1）中的两个结论是否成立？请做出判断并说明理由。
（3）将图1中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图3，这时（1）中的两个结论是否成立？请作出判断并说明理由。

答案

解：（1）线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成90度角；（2）（1）中结论仍成立；
证明如下：如图延长CA交BD于点E，
∵等腰直角三角形OAB和OCD，
∴OA=OB，OC=OD，
∵AC²=AO²+CO²，BD²=OD²+OB²，
∴AC=BD；
∴△DOB≌△COA（SSS），
∴∠CAO=∠DBO，∠ACO=∠BDO，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠ACO+∠DBO=90°，则∠AEB=90°，
即直线AC，BD相交成90°角。（3）结论仍成立；如图延长CA交OD于E，交BD于F，
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，即：∠COA=∠DOB，
∵CO=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，∠ACO=∠ODB；
∵∠CEO=∠DEF，
∴∠COE=∠EFD=90°，
∴AC⊥BD，即直线AC，BD相交成90°角。